【等比数列的性质是什么】等比数列是数列中一种重要的形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。在数学学习中，掌握等比数列的性质有助于更好地理解其规律和应用。下面将对等比数列的基本性质进行总结，并以表格形式展示。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 为常数（称为公比），则该数列为等比数列。
二、等比数列的主要性质
等比数列具有以下一些重要的数学性质，这些性质可以帮助我们更深入地分析和解决相关问题：
| 性质编号 | 性质描述 |
| 1 | 若 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比，则第 $ n $ 项为：$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 2 | 等比数列中任意两项之比等于它们的项数差的幂次：$ \frac{a_m}{a_n} = r^{m-n} $ |
| 3 | 若 $ m + n = p + q $，则有 $ a_m \cdot a_n = a_p \cdot a_q $ |
| 4 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 是等比数列，则 $ \sqrt{a_1 \cdot a_2 \cdots a_n} = a_1 \cdot r^{\frac{n-1}{2}} $ |
| 5 | 当公比 $ r > 1 $ 时，数列递增；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列递减；当 $ r = 1 $ 时，数列为常数列 |
| 6 | 若 $ r = -1 $，则数列为摆动数列，即正负交替出现 |
| 7 | 若数列中有连续三项 $ a, b, c $ 成等比，则 $ b^2 = a \cdot c $ |
三、小结
等比数列是一种具有固定比例关系的数列，其性质广泛应用于数学、物理、经济等多个领域。通过了解其基本公式和重要性质，可以更灵活地处理与等比数列相关的计算与问题。
以上内容是对“等比数列的性质是什么”的总结，旨在帮助学习者系统掌握这一知识点，并提高实际应用能力。