【除法导数公式是什么除法导数公式的解释】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。当函数由两个函数相除构成时，就需要使用“除法导数公式”来求其导数。这个公式也被称为“商法则”，是求导过程中非常常见且重要的内容。
一、除法导数公式（商法则）
若函数 $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 都是可导函数，且 $ v(x) \neq 0 $，则其导数为：
$$
f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
即：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
二、公式解析
| 项 | 含义 | 说明 |
| $ u(x) $ | 分子函数 | 被除的函数 |
| $ v(x) $ | 分母函数 | 除以的函数 |
| $ u'(x) $ | 分子函数的导数 | 对分子求导 |
| $ v'(x) $ | 分母函数的导数 | 对分母求导 |
| $ [v(x)]^2 $ | 分母的平方 | 分母部分的平方，用于分母 |
| $ u'v - uv' $ | 分子部分 | 公式的核心计算部分 |
三、使用步骤总结
1. 识别分子和分母：明确 $ u(x) $ 和 $ v(x) $。
2. 分别求导：对 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 求导，得到 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $。
3. 代入公式：将各部分代入商法则公式。
4. 化简表达式：根据需要对结果进行简化。
四、举例说明
假设 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $
- $ u(x) = x^2 + 1 $，$ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 1 $，$ v'(x) = 1 $
代入公式：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}
$$
展开并化简：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2 - 1}{(x - 1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}
$$
五、注意事项
- 分母不能为零，因此在定义域内必须排除使 $ v(x) = 0 $ 的点。
- 商法则适用于所有可导的分式函数，但有时可以通过先化简再求导来减少计算量。
- 在实际应用中，掌握商法则有助于解决物理、工程、经济等领域的复杂问题。
六、总结表格
| 内容 | 说明 |
| 公式名称 | 商法则（除法导数公式） |
| 公式表达式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 使用条件 | $ u(x) $、$ v(x) $ 可导，且 $ v(x) \neq 0 $ |
| 适用范围 | 所有分式函数的求导 |
| 常见错误 | 忽略符号，误用乘法法则 |
| 应用领域 | 数学、物理、经济学、工程等 |
通过理解并熟练运用除法导数公式，可以更高效地处理涉及分式函数的导数问题，提升解题能力与数学思维水平。