【求导公式常用】在数学中，导数是研究函数变化率的重要工具，尤其在微积分中具有核心地位。掌握常用的求导公式，对于解决实际问题、理解函数性质以及进行进一步的数学分析都至关重要。本文将对常见的求导公式进行简要总结，并以表格形式清晰展示，便于查阅和记忆。
一、基本求导公式
以下是一些基础函数的导数公式，适用于初等数学和高等数学中的常见情况：
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
二、复合函数与高阶导数
在实际应用中，常常会遇到复合函数或需要求高阶导数的情况，以下是相关规则和部分常见结果：
1. 链式法则（Chain Rule）
若 $ y = f(g(x)) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) \cdot g'(x)
$$
2. 乘积法则（Product Rule）
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
$$
3. 商法则（Quotient Rule）
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{[v(x)]^2}
$$
4. 高阶导数示例
- $ f(x) = x^n $ 的二阶导数：$ f''(x) = n(n-1)x^{n-2} $
- $ f(x) = \sin x $ 的二阶导数：$ f''(x) = -\sin x $
- $ f(x) = e^x $ 的任意阶导数均为 $ e^x $
三、三角函数与反三角函数的导数
| 函数表达式 | 导数表达式 | ||
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ | ||
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arccot } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{1 + x^2} $ | ||
| $ f(x) = \text{arcsec } x $ | $ f'(x) = \frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
| $ f(x) = \text{arccsc } x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{ | x | \sqrt{x^2 - 1}} $ |
四、小结
掌握这些常用的求导公式，不仅有助于提高解题效率，还能加深对函数行为的理解。在学习过程中，建议结合图形、实际例子进行练习，以增强对导数概念的直观认识。同时，注意不同函数之间的区别与联系，有助于形成系统化的知识结构。
如需更深入的学习资料或具体题目解析，可参考相关的数学教材或在线资源。